در این مقاله، با استفاده از توابع کلاهی بهبود یافته به حل عددی دسته ای از مسائل کنترل بهینه کسری تأخیری می پردازیم. ابتدا به معرفی حساب کسری و توابع کلاهی بهبود یافته می پردازیم. انتگرال کسری از نوع ریمان-لیوویل و مشتق کسری از نوع کاپوتو در نظر گرفته می شوند. سپس، ماتریس عملیاتی انتگرال کسری، حاصل ضرب و ماتریس عملیاتی تأخیری برای بردار توابع پایه ای مورد نظر معرفی می شوند. برای حل مسئله کنترل بهینه، توابع موجود در مسئله با استفاده از توابع پایه ای تقریب زده می شوند. با استفاده از خواص توابع کلاهی بهبود یافته و ماتریس های عملیاتی معرفی شده، دستگاهی از معادلات جبری غیرخطی حاصل می شود. با حل دستگاه حاصل، ضرایب مجهول توابع وضعیت و ورودی کنترل تعیین شده و با جای گذاری این مقادیر، تقریبی از جواب مسئله حاصل می شود. در پایان، چند مثال عددی گوناگون از مسائل کنترل بهینه کسری تأخیری برای تأیید دقت و کارآیی روش پیشنهادی در نظر گرفته می شود.

در این تحقیق، یک روش عددی کارآمد برای حل یک کلاس از مسائل کنترل بهینه کسری تأخیری غیرخطی با محدودیت بر روی متغیرهای حالت و کنترل ارائه شده است. روش پیشنهادی مبتنی بر توابع ترکیبی بلاک-پالس و توابع لژاندر مرتبه کسری است. با استفاده از ماتریس های عملیاتی تأخیر و مشتق متناظر با توابع ترکیبی، مسأله کنترل بهینه اصلی به یک مسأله بهینه سازی پارامتری تبدیل می شود. نتایج عددی، دقت و اعتبار روش پیشنهادی را نشان می دهد.

در این مقاله، با استفاده از یک روش جدید بر اساس توابع کلاهی تعمیم یافته به حل عددی دسته ای از معادلات دیفرانسیل تأخیری کسری می پردازیم که مشتق کسری در آن ها از نوع کاپوتو در نظر گرفته می شود. ابتدا، به معرفی توابع کلاهی تعمیم یافته و ماتریس های عملیاتی متناظر با این توابع می پردازیم. سپس، برای حل مسأله مورد نظر، توابع موجود در آن با استفاده از توابع پایه ای تقریب زده می شوند. با بکارگیری خواص توابع کلاهی تعمیم یافته، مشتق کسری کاپوتو و انتگرال کسری ریمان-لیوویل، دستگاهی از معادلات جبری حاصل می شود که با حل آن ضرایب مجهول تعیین می شود. با جایگذاری مقادیر حاصل، تقریبی از جواب مسأله بدست می آید. به علاوه، پیچیدگی محاسباتی دستگاه حاصل بررسی می شود. در ادامه، تحلیل خطای روش مورد بررسی قرار می گیرد. در پایان، با ار‏ائه دو مثال کارایی و دقت روش پیشنهادی نشان داده می شود.

لطفا برای مشاهده چکیده به متن کامل (PDF) مراجعه فرمایید.

سیستم های دینامیکی در بسیاری از شاخه های علوم و صنعت غالبا با انواع مختلف از نویزهای محیطی آشفته می شوند. آنالیز این سیستم ها از اهمیت ویژه ای مابین پژوهشگران برخودار می باشند. در این مقاله، ما روشی برای محاسبه جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل غیر خطی تصادفی تاخیری از مرتبه کسری حاصل از حرکت برآونی را ارائه می دهیم. مشتقات از مرتبه کسری از نوع کاپوتو در نظر گرفته شده است. اساس روش محاسباتی بر پایه درون یابی اسپلاین دو خطی و تقریب تفاضلات متناهی می باشد. مرتبه همگرایی روش پیشنهادی با استفاده از نرم میانگین مجذور اثبات شده است و دقت روش از منظر میانگین خطای مطلق و مرتبه همگرایی تجربی آنالیز شده است. روش ارایه شده برای تعیین شاخص های آماری در مدل های گومبرتزیان و نیکولسون بکار گرفته شده است. معادله دیفرانسیل تاخیری و تصادفی گومبرتزیان از مرتبه کسری مدلسازی شده است برای توصیف رشد فرایند سرطان و معادله دیفرانسیل تاخیری و تصادفی نیکولسون از مرتبه کسری برای بیان دینامیک جمعیت آشفتگی های نیکولسون در محیط زیست، فرموله شده است.

در این مقاله، کاربرد توابع ترکیبی گنوچی در حل رده­ای از مسائل کنترل بهینه کسری با حالت­های مختلف مرتبه مشتق کسری شامل شرایط اولیه یا مرزی متغیر وضعیت ارائه شده است. بدین منظور، در ابتدا اهمیت حسابان کسری، تعاریف و خواص مورد نیاز بیان می­شود. سپس، توابع ترکیبی شامل ترکیب چندجمله ای های گنوچی با توابع پایه ای بلاک­پالس معرفی می­گردد. با استفاده از خواص این توابع و بدون تقریب زدن، دو عملگر کسری توابع ترکیبی گنوچی شامل عملگر انتگرال کسری چپ ریمان-لیوویل و عملگر مشتق کسری چپ کاپوتو به­صورت مستقیم محاسبه شده است. در ادامه، روش های حل مسأله کنترل بهینه کسری اختیار شده در قالب روش های مستقیم بیان می شود. در این روش ها با محاسبه متغیر کنترل برحسب متغیر وضعیت، تقریب متغیر وضعیت بر اساس توابع ترکیبی گنوچی، استفاده از عملگر انتگرال کسری ریمان-لیوویل محاسبه شده و تقریب شاخص عملکرد با استفاده از فرمول لژاندر-گاووس، مسأله کنترل بهینه کسری به یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می گردد. از حل دستگاه حاصل، ضرایب مجهول متغیر وضعیت و در نتیجه متغیر کنترل به­دست می­آیند. علاوه بر این، برای حل مسائل شامل نقطه ی مرزی نهایی ثابت، عملگر مشتق کسری کاپوتو و ضرب کننده های لاگرانژ به­کار می­روند. کران خطاهای تقریب تابع و عملگرهای کسری، محاسبه شده و آنالیز همگرایی ارائه می­شود. در پایان، کارایی و مؤثر بودن روش های پیشنهادی با حل چند مثال عددی بیان و نتایج حاصله با نتایج گزارش شده در مقالات مرتبط مقایسه شده است

برای انطباق بیشتر مسایل کنترل بهینه با پدیده های دنیای واقعی و همچنین به دلیل استفاده از داده های نادقیق ابزارهای اندازه گیری در مدلهای مهندسی، از دو مفهوم فازی و مشتقات مرتبه کسری، به عنوان دو بال برای ارتقای این دسته از مسایل استفاده می کنیم. مساله کنترل بهینه کسری فازی را می توان به کمک مفهوم α- برش به دو مساله کنترل بهینه کسری تبدیل کرد و سپس با استفاده از اصل کمینه پونتریاگین برای مساله کنترل بهینه کسری، مسیر بهینه و کنترل بهینه آن را به دست آورد. برپایه این مطالب، با بیان مفهوم درجه اطمینان برای این دسته از مسایل، شخص تصمیم گیرنده می تواند با اختیار کردن مقدار اطمینان α‎، مسیر بهینه و کنترل بهینه مساله مذکور را به صورت یک بازه محاسبه کند. این در حالی است که هرچه مقدار α‎ به یک نزدیکتر باشد، کران بالا و پایین بازه های به دست آمده برای مسیر بهینه و کنترل بهینه، به مسیر و کنترل بهینه برای حالت دقیق (غیر فازی) مساله نزدیک و نزدیکتر می شوند. ‎\\‎در پایان این مقاله، یک مثال عددی را با روش ارایه شده در این مقاله بر حسب برشهای مختلف α‎ و همچنین مشتقات کسری مراتب مختلف ‎β حل می کنیم و نشان می دهیم که کنترل بهینه و مسیر بهینه به دست آمده در حالت α=β=1‎ با جوابهای بهینه به دست آمده در حالت غیر فازی و با مشتقات مرتبه یک مطابقت دارد.

در این مقاله، یک مدل کنترل بهینه جدید به کمک نسخه تعمیم یافته مشتق کسری با تابع کرنل دلخواه برای بررسی و کنترل بیماری عفونی HIV پیشنهاد می شود. بدین طریق یک استراتژی درمانی کارآمد بر اساس نظریه کنترل بهینه کسری برای بیماری ذکرشده تدوین و بررسی می شود. شرایط لازم بهینگی بر اساس اصل ماکسیمم یابی پونتریاگین به فرم یک مسئله مقدار مرزی کسری فرموله می شود. علاوه بر این، یک روش عددی کارا و مؤثر برای یافتن پاسخ سیستم دینامیکی کسری تعمیم یافته و همچنین حل مسئله کنترل بهینه متناظر با آن ارائه می شود. همگرایی و تحلیل خطای تکنیک پیشنهادی نیز مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد. شبیه سازی های عددی نشان می دهند که مدل کسری تعمیم یافته برای مرتبه کسری 99/0 دارای خطای کمتر و در نتیجه دقت بهتر در مقایسه با مدل مرتبه صحیح و نیز سایر مراتب کسری آزمایش شده (بر اساس داده های واقعی تأییدشده توسط سازمان بهداشت جهانی) می باشد. به علاوه اعمال کنترل بهینه پیشنهادی منجر به کاهش قابل توجهی در گسترش بیماری می شود؛ در نتیجه مدل کسری معرفی شده ابزاری کارآمد برای نشان دادن ویژگی های اساسی انتقال بیماری مفروض بوده و می تواند باعث افزایش کارایی استراتژی های درمانی شود

اصل مقاله به صورت متن کامل انگلیسی، در بخش انگلیسی قابل رویت است.

1در این مقاله یک روش کنترل غیرخطی بهینه مقاوم، بر پایه حل معادله ریکاتی وابسته به حالت (SDRE)، برای گروهی از سیستم های غیرخطی با مرتبه کسری ارائه شده است. کنترل SDRE، روشی برای حل مسئله بهینه برای سیستم های غیرخطی است که دارای نقاط ضعفی از جمله مقاوم نبودن این روش در مقابل اغتشاشات و نامعینی ها و نیز زمان محدود نبودن همگرایی حالت های سیستم در این روش است. روش کنترل مد لغزشی (SMC) نیز از روش های متداول کنترل سیستم های غیرخطی است که باوجود آنکه روش کنترل بهینه محسوب نمی شود، دارا بودن مزایای بزرگی چون مقاوم بودن آن در مقابل اغتشاشات و نامعینی ها، آن را بسیار پرکاربرد کرده است. در روش پیشنهادی، برای داشتن کنترل غیرخطی بهینه و مقاوم، از ترکیب دو روش SMC و SDRE استفاده شده است، بطوری که مناسب برای گروهی از سیستم های غیرخطی مرتبه کسری باشد. روش کنترل پیشنهادی دارای ساختاری مقاوم در برابر اغتشاشات از نوع ناسازگار نیز می باشد. پایداری سیستم حلقه بسته با استفاده از تئوری لیاپانوف تضمین شده است و با ارائه مثال های شبیه سازی، بهبود عملکرد روش ارائه شده نشان داده می شود.